9.kl. - del 4 - Analytisk geometri Matematik Forfatter: Patrick Schunck

Kapitel 1 Geometri + Algebra

La Geometrie - Descartes

l starten af 1600-tallet var der to matematiske videnskaber: geometri og algebra. Af de to videnskaber blev geometrien regnet for den fornemmeste. De to videnskaber var helt adskilte.

Det blev den franske filosof og matematiker Descartes, der skabte sammenhæng mellem geometri og algebra: han „opfandt" koordinatsystemet. Koordinatsystemet gjorde det muligt at behandle geometriske figurer ved hjælp af tal. Man kunne altså analysere figurernes egenskaber.

Sammensmeltningen af de to videnskaber blev kaldt analytisk geometri - men burde måske hedde algebraisk geometri.

Descartes var vant til at ligge længe i sengen og spekulere, Det fortælles, at han en formiddag betragtede en flue, der kravlede rundt på loftet.

Da fluen kravlede rundt i nærheden af et hjørne, indså Descartes, at fluens position kunne beskrives ved afstanden til den ene væg og afstanden til den anden væg. To tal kunne altså beskrive placeringen af et punkt.

Koordinatsystemet blev født! WUHUUU!!!!!

 

Dårlig joke...

På et skakbræt beskrives
brikkernes placering med
tal og bogstaver. Her står
„dronningen" på plads D5

 

Descartes udviklede den analytiske geometri allerede, da han var 22 år gammel. Han kædede den sammen med en række synspunkter om fysik og astronomi - og det gav ham problemer!

Descartes var katolik, og den katolske kirke fordømte
Kopernicus' verdensbillede. Kopernicus mente, at Jorden ikke var universets centrum, men at den bevægede sig rundt om Solen (se Meebook-forløb om Jorden og Geometrien). Descartes mente, at Kopernicus havde ret. Derfor holdt han sin bog tilbage i 18 år!

Efter mange opfordringer fra sine venner, udgav Descartes alligevel bogen i 1637. Den hed Afhandling om metoden.

Den er blevet en af filosofiens hovedværker, og den
slutter med tre eksempler på, hvorledes Descartes' videnskabelige tankegang kan bruges.
De to første eksempler handler om optiske linser og om
astronomi. Det tredje eksempel hedder La géométrie,
Her beskrev Descartes den idé, at et par tal kan bestemme et punkt på en overflade: det ene tal kan afsættes som en vandret afstand, det andet tal som en lodret afstand.

Koordinatsystemet var skabt! WUHUU!!!

Englænderen Isaac Newton gjorde koordinatsystemet
„færdigt", da han tilføjede negative tal pä akserne.
Algebraiske udtryk med to variable, fx x og y, kan vises
som geometriske figurer i et koordinatsystem, og en geometrisk figur kan beskrives med en algebraisk ligning (forskrift).

Til højre ses fire eksempler på sammenhæng mellem
ligninger (forskrifter) og geometriske figurer.

 
 

hastighedsformlen

 

Kapitel færdig

Kapitel 3 Sammensatte grafer

Flere små

Indtil nu har vi beskæftiget os med grafer, der viser billedet af en forskrift. Eksemplet nedenfor viser, hvordan en graf kan sættes sammen af flere „små" grafer:

 
 

Kapitel færdig

Kapitel 5 Parabler

 

Den graf, der blev tegnet i opgave 157, kunne se ud som vist til højre.

Mellem punkterne er tegnet rette linjestykker.
Hvis måletætheden er større, ser grafen lidt anderledes ud. Det bliver en kurve uden „knæk".

 

Grafen til venstre danner halvdelen af en matematisk figur, der kaldes en parabel. Den tegnede del af parablen kaldes højre gren

 

Eksempel

Tegn en parabel, der har forskriften y = 5 • x2

For parablen (og andre ikke-lineæregrafer) bør man ikke nøjes med at beregne nogle få koordinatsæt. Til
højre ses parablen tegnet som XY-diagram med intervaller på 0,1.

 
 

Kapitel færdig

Kapitel 6 Andengradsligningen

y = axx +bx+c

 
 

Løs

a. Find nulpunkterne (skæring med X-akse)
b. Find skæring med Y-aksen.
c. Find toppunkt.

Nb.
Hvis d=0, netop ét x
Hvis d mindre end 0, ingen x'er

 

Løs

a. Find nulpunkterne (skæring med X-akse)
b. Find skæring med Y-aksen.
c. Find toppunkt.

Nb.
Hvis d=0, netop ét x
Hvis d mindre end 0, ingen x'er

 

Kapitel færdig